公鑰密碼技術發明於20世紀70年代，是電腦和資訊安全的數學基礎。

公鑰密碼技術發明後，發現了一些合適的數學函數，例如質數指數運算和橢圓曲線乘法。這些數學函數實際上是不可逆的，這意味著它們很容易在一個方向上計算，但在相反方向上計算是不可行的。基於這些數學函數，密碼學可以創建數字密鑰和不可偽造的數位簽章。比特幣使用橢圓曲線乘法作為其密碼學的基礎。

在比特幣中，我們使用公鑰密碼技術來創建一個控制比特幣訪問的密鑰對。密鑰對由一個私鑰和從它派生的一個唯一的公鑰組成。公鑰用於接收資金，私鑰用於簽署交易以支付資金。

公鑰和私鑰之間存在數學關係，可以用私鑰生成一個訊息的簽名，然後使用公鑰在不公開私鑰的情況下驗證簽名。

在花費比特幣時，當前比特幣的所有者需要在交易中提供他的公鑰和簽名（每次都不同，但由相同的私鑰創建）。通過公鑰和簽名，比特幣網路中的每個人都可以驗證該交易的有效性並接受，從而確認轉讓這筆比特幣的人擁有它們。

比特幣錢包包含密鑰對兒的集合，每個密鑰對兒包含一個私鑰和一個公鑰。私鑰（k）是一個數字，通常隨機選取。我們使用橢圓曲線乘法（單向加密函數）通過私鑰生成公鑰（K）。從公鑰（K）中，我們使用單向加密雜湊函數來生成比特幣地址（A）。在本節中，我們將開始生成私鑰，查看用於將其轉換為公鑰的橢圓曲線數學運算，最後從公鑰生成一個比特幣地址。私鑰，公鑰和比特幣地址之間的關係如Private key, public key, and bitcoin address所示。

私鑰只是一個隨機選取的數字。對私鑰的所有權和控制權是用戶控制相應比特幣地址所關聯的所有資金的根本。私鑰用於通過證明交易中使用的資金的所有權來創建花費比特幣所需的簽名。私鑰在任何時候都必須保密，因為向第三方透露它相當於讓它們控制由該密鑰保護的比特幣。私鑰還必須備份和防止意外丟失，因為如果丟失了私鑰，它就無法恢復，並且它所保護的資金也會永遠丟失。

公鑰使用私鑰通過橢圓曲線乘法計算，這是不可逆的：K = k * G，其中 k 是私鑰，G 是一個稱為 生成點（generator point） 的固定的點，K 是公鑰。如果你知道 K ，那麼稱為＂尋找離散對數＂的逆運算與嘗試所有可能的 k 值（即蠻力搜索）一樣困難。在我們演示如何從私鑰生成公鑰之前，我們先來看一下橢圓曲線加密。

橢圓曲線密碼術是一種基於離散對數問題的非對稱或公鑰密碼技術，用橢圓曲線上的加法和乘法表示。

An elliptic curve 是一個橢圓曲線的示例，與比特幣使用的類似。

比特幣使用由美國國家標準與技術研究院（NIST）建立的稱為 secp256k1 的標準中定義的特定橢圓曲線和一組數學常數。secp256k1 曲線由以下函數定義，產生一個橢圓曲線：

or

mod p (模質數p) 表明該曲線位於質數階的有限域上。p, 也寫作 \(\( \mathbb{F}_p \)\), p = 2²⁵⁶ – 2³² – 2⁹ – 2⁸ – 2⁷ – 2⁶ – 2⁴ – 1, 是一個非常大的質數.

因為這條曲線是在有限的質數階上而不是在實數上定義的，所以它看起來像是一個散佈在二維中的點的模式，難以可視化。然而，運算與實數上的橢圓曲線的是相同的。作為示例，Elliptic curve cryptography: visualizing an elliptic curve over F(p), with p=17在一個更小的質數階17的有限域上顯示了相同的橢圓曲線，顯示了一個網格上的點的圖案。 可以認為secp256k1比特幣橢圓曲線是一個不可思議的大網格上的非常複雜的點陣。

例如，以下是座標為（x，y）的點P，它是 secp256k1 曲線上的一個點：

Using Python to confirm that this point is on the elliptic curve 展示瞭如何使用Python檢驗:

在橢圓曲線中，有一個叫做＂無限點＂的點，它大致相當於零點的作用。在電腦上，它有時用x = y = 0表示（它不滿足橢圓曲線方程，但它是一個容易區分的情況）。

還有一個 + 運算符, 稱為 "加法"，與傳統的實數加法有類似的屬性。給定橢圓曲線上的點 P₁ 和 P₂，則 P₃ = P₁ + P₂, 也在橢圓曲線上.

幾何上來說，P₃是通過在P₁和P₂之間畫一條直線來計算的。這條線將在另外一點與橢圓曲線相交，稱此點為 P₃' = (x, y)。然後在x軸上反射得到 P₃ =（x，-y）。 有幾個特殊情況解釋了＂無限點＂的需要。

如果 P₁ 和 P₂ 是同一點，則 P₁ 和 P₁ 之間的直線應該延伸到曲線上 P₁ 的切線。該切線恰好與曲線相交於一個新的點。你可以使用微積分技術來確定切線的斜率。儘管我們侷限在具有兩個整數座標的曲線上，但這些機制仍然可以神奇的運轉。

在某些情況下（如 P₁ 和 P₂ 具有相同的x值但不同的y值），切線將是垂直的，在這種情況下 P₃=＂無限點＂。

如果 P₁ 是＂無窮遠點＂，則 P₁ + P₂ = P₂。同樣，如果 P₂ 是無窮遠點，則 P₁ + P₂ = P₁。這展示了無窮遠點如何扮演零的角色。

+ 是可結合的，這意味著（A + B）+ C = A +（B + C）。這意味著我們可以書寫 A + B + C，沒有括號也沒有歧義。

現在我們已經定義了加法，我們可以用擴展加法的標準方式來定義乘法。對於橢圓曲線上的點P，如果k是整數, 則 kP = P + P + P + …​ + P (k 次). 在這種情況下，k有時會被混淆地稱為＂指數＂。

從一個隨機生成的私鑰 k 開始，我們將它乘以曲線上的一個預定點，稱為 生成點（generator point） G，以在曲線上的其他位置生成另一個點，這是相應的公鑰 K 。生成點被指定為 secp256k1 標準的一部分，並且對於比特幣中的所有密鑰都是相同的：

其中 k 是私鑰， G 是生成點， K 是生成的公鑰，即曲線上的一個點。由於所有比特幣用戶的生成點始終相同，因此G乘以G的私鑰始終會生成相同的公鑰K。 k 和 K 之間的關係是固定的，但只能從 k 到 K 的一個方向進行計算。這就是為什麼比特幣地址（從 K 派生）可以與任何人共享，並且不會洩露用戶的私鑰（ k ）。

實現橢圓曲線乘法，我們將先前生成的私鑰 k 與乘法生成點G相乘得到公鑰 K ：

公鑰K被定義為一個點 K = (x,y)

為了可視化一個點與整數的乘積，我們將使用簡單的橢圓曲線來代替實數 — 記住，演算法是相同的。我們的目標是找到生成點 G 的多個 kG ，這與將 G 自身相加 k 次相同。在橢圓曲線中，一個點自身相加相當於在該點上繪製切線並找到它再次與曲線相交的位置，然後在x軸上反射該點。

Elliptic curve cryptography: visualizing the multiplication of a point G by an integer k on an elliptic curve 展示了 G , 2G , 4G 在曲線上的幾何操作。

為了使用少量的符號，以緊湊的形式展示很長的數字，許多電腦系統使用基數（進制）高於10的混合字母數字表示。例如，傳統的十進制系統使用0到9的10個數字，十六進制使用16個（字母A到F作為六個附加符號）。以十六進制格式表示的數字比等效的十進製表示更短。更加緊湊的Base64表示使用26個小寫字母，26個大寫字母，10個數字和另外2個字符（如 “+” 和 ＂/＂ ）在基於文本的媒體（如電子郵件）上傳輸二進制數據。Base64最常用於向電子郵件添加二進制附件。Base58是一種基於文本的二進制編碼格式，用於比特幣和許多其他密碼貨幣。它在緊湊表示，可讀性和錯誤檢測與預防之間提供了平衡。Base58是Base64的一個子集，使用大小寫字母和數字，省略了一些經常被混淆的，或在使用某些字體顯示時看起來相同的。 具體來說，相比Base64，Base58沒有0（數字0），O（大寫o），l（小寫L），I（大寫i）和符號＂+＂和＂/＂。 Bitcoin’s Base58 alphabet 是完整的Base58字母表。

為了增加防範輸入錯誤或轉錄錯誤的額外安全性，Base58Check是有內置錯誤校驗程式碼的Base58編碼格式，經常在比特幣中使用。校驗碼是添加到編碼數據末尾的四個位元組。校驗碼來自編碼數據的雜湊雜湊值，可用於檢測和防止轉錄和輸入錯誤。當使用Base58Check程式碼時，解碼軟體將計算數據的校驗碼並將其與程式碼中包含的校驗碼進行比較。如果兩者不匹配，則會引入錯誤並且Base58Check數據無效。這可以防止錯誤的比特幣地址被錢包軟體接收，導致資金損失。

要將數據（數字）轉換為Base58Check格式，我們首先為數據添加一個名為＂版本字節＂的前綴，以便輕鬆識別編碼數據的類型。例如，比特幣地址的前綴為零（十六進制中的0x00），而編碼私鑰時使用的前綴為128（十六進制中的0x80）。常用的版本前綴參見 Base58Check version prefix and encoded result examples 。

接下來，我們計算＂double-SHA＂校驗和，在前面的結果（前綴和數據）上應用兩次SHA256雜湊演算法：

在產生的32位元組雜湊（hash-of-a-hash）中，我們只取前四個位元組，作為錯誤檢查程式碼或校驗碼。將校驗碼追加到最後。

結果由三項組成：前綴，數據和校驗碼。該結果使用前面描述的Base58字母表進行編碼。 Base58Check encoding: a Base58, versioned, and checksummed format for unambiguously encoding bitcoin data 展示了Base58Check編碼過程。

在比特幣中，大部分呈現給用戶的數據都是Base58Check編碼的，以使其緊湊，易於閱讀並易於檢測錯誤。 Base58Check編碼中的版本前綴用於創建容易區分的格式。這些字元使人們很容易得知編碼數據的類型以及如何使用它。例如，Base58Check編碼的比特幣地址以1開頭，Base58Check編碼的密鑰錢包匯入格式（WIF）以5開頭。一些示例版本前綴和Base58字元顯示在 Base58Check version prefix and encoded result examples中。

私鑰和公鑰都可以用不同的格式表示。即使這些格式看起來不同，但它們的編碼相同。這些格式主要用於使人們輕鬆閱讀和轉錄密鑰而不會引入錯誤。

私鑰必須保密，但對私鑰的＂保密性＂的需求是在實踐中很難實現，因為它與同樣重要的 可用性 安全目標相沖突。當你需要備份私鑰以避免丟失私鑰時，保持私鑰私密性更加困難。儲存在通過密碼加密的錢包中可能是安全的，但該錢包需要備份。有時，用戶需要將密鑰從一個錢包移動到另一個錢包 - 例如，升級或替換錢包軟體。私鑰的備份也可能儲存在紙張上（請參見紙錢包）或外部儲存介質（如USB閃存驅動器）中。但是如果備份本身被盜或丟失怎麼辦？這些相互衝突的安全目標促成了一種便攜式和便捷的加密私鑰的標準，這種加密方式可以被許多不同的錢包和比特幣客戶端理解，通過BIP-38標準化(參見 [appdxbitcoinimpproposals]).

BIP-38 提出了一個通用標準，用密碼對私鑰進行加密，並使用Base58Check對其進行編碼，以便它們可以安全地儲存在備份介質上，在錢包之間安全地傳輸，或保存在密鑰可能暴露的任何其他情況下。加密標準使用高級加密標準（AES），這是NIST建立的標準，廣泛用於商業和軍事應用的數據加密實現。

BIP-38加密方案將通常使用WIF編碼（前綴為＂5＂的Base58Check字串）的比特幣私鑰作為輸入。此外，BIP-38加密方案需要一個密碼短語，通常由幾個詞或一串複雜的字母數字字符組成。BIP-38加密的結果是以前綴6P開始的Base58Check加密私鑰。如果你看到一個以6P開頭的密鑰，則該密鑰是加密的，需要密碼才能將其轉換（解密）為可用於任何錢包的WIF格式的私鑰（前綴5）。許多錢包應用程式現在可識別BIP-38加密的私鑰，並提示用戶輸入密碼以解密並匯入密鑰。第三方應用程式，例如非常實用的基於瀏覽器的應用程式 Bit Address (Wallet Details tab), 可以用來解密BIP-38密鑰。

BIP-38加密密鑰最常見的用例是可用於備份私鑰的紙錢包。只要用戶選擇強密碼，帶有BIP-38加密私鑰的紙錢包就非常安全，並且是創建離線比特幣儲存（也稱為＂冷儲存＂）的好方法。

使用bitaddress.org測試Example of BIP-38 encrypted private key中的加密密鑰，瞭解如何通過輸入密碼來獲取解密的密鑰。

如我們所知，傳統的以數字＂1＂開頭的比特幣地址，源自公鑰，而公鑰又是通過私鑰生成的。儘管任何人都可以將比特幣發送到＂1＂地址，但只能通過提供相應的私鑰簽名和公鑰雜湊來花費比特幣。

以數字＂3＂開頭的比特幣地址是支付給腳本的雜湊（P2SH）地址，有時被錯誤地稱為多重簽名或多重地址。它們將比特幣交易的受益人指定為腳本的雜湊，而不是公鑰的所有者。該功能在2012年1月由BIP-16提出 (參見 [appdxbitcoinimpproposals]), 正在被廣泛採用，因為它提供了向地址本身添加功能的機會。與將資金＂發送＂到傳統的＂1＂比特幣地址（也稱為付費至公鑰的雜湊（P2PKH））的交易不同，發送至＂3＂地址的資金需要的不僅僅是一個公鑰雜湊和一個私鑰簽名作為所有權證明。這些要求是創建地址時在腳本中指定的，並且對該地址的所有輸入也要按照相同的要求進行設置。

P2SH地址由交易腳本創建，該腳本定義誰可以使用交易的輸出（有關更多詳細訊息，請參見[p2sh]）。對P2SH地址進行編碼使用與創建比特幣地址時用到的相同的雙重雜湊函數，只是應用於腳本而不是公鑰:

生成的＂腳本雜湊＂使用前綴5進行Base58Check編碼，導致編碼地址以3開頭。P2SH地址的示例： 3F6i6kwkevjR7AsAd4te2YB2zZyASEm1HM, 可以使用Bitcoin Explorer的 script-encode, sha256, ripemd160, 和 base58check-encode 命令（參見 [appdx_bx]) 生成：

虛榮地址是包含人類可讀訊息的有效比特幣地址。例如，1LoveBPzzD72PUXLzCkYAtGFYmK5vYNR33 是一個有效的地址，其中包含形成單詞＂Love＂的字母作為前四個Base-58字母。虛擬地址需要生成並測試數十億個候選私鑰，直到找到具有所需模式的比特幣地址。雖然在虛榮生成演算法中有一些優化，但這個過程主要包括隨機選擇一個私鑰，匯出公鑰，匯出比特幣地址，並檢查它是否符合所需的虛擬模式，重複數十億次，直到匹配被發現。

一旦找到與所需模式相匹配的虛擬地址，所有者就可以使用從中得到的私鑰來並以與其他地址完全相同的方式使用比特幣。虛擬地址的安全性不低於其他地址。它們依賴於與其他地址相同的橢圓曲線加密（ECC）和SHA。

在 [ch01_intro_what_is_bitcoin] 中, 我們介紹了在菲律賓開展業務的兒童慈善機構Eugenia。假設Eugenia正在組織比特幣籌款活動，並希望使用虛擬比特幣地址來宣傳籌款活動。Eugenia將創建一個以＂1Kids＂開頭的虛榮地址來宣傳兒童慈善籌款活動。讓我們看看這個虛榮的地址如何創建，以及它對於Eugenia慈善機構的安全意味著什麼。

紙錢包是印在紙上的比特幣私鑰。通常為方便起見，紙錢包還包括相應的比特幣地址，但這不是必須的，因為它可以用私鑰生成。紙錢包是創建備份或離線比特幣儲存（也稱為＂冷儲存＂）的非常有效的方式。作為備份機制，紙錢包可以防止由於電腦故障（如硬盤驅動器故障，被盜或意外刪除）而導緻密鑰丟失。作為一種＂冷儲存＂機制，如果紙錢包密鑰是離線生成的，永遠不會儲存在電腦系統中，可以很好的防範駭客，按鍵記錄器和其他在線電腦威脅。

紙錢包可以有許多形狀，大小和設計，最基本的只是紙上的密鑰和地址。 Simplest form of a paper wallet—a printout of the bitcoin address and private key 展示了紙錢包最簡單的形式。

例如位於bitaddress.org的客戶端JavaScript生成器的工具可以輕鬆生成紙錢包。此頁面包含生成密鑰和紙錢包所需的全部程式碼，即使與互聯網完全斷開。要使用它，請將HTML頁面保存在本地硬盤或外部USB儲存上，斷開互聯網並在瀏覽器中打開它。更好的是，使用乾淨的作業系統啟動電腦，例如可以從CD-ROM啟動的Linux作業系統。離線時使用此工具生成的任何密鑰都可以通過USB（非無線）在本地打印機上打印，從而創建紙錢包，其密鑰僅存在於紙張上，從未儲存在任何在線系統上。將這些紙錢包放入防火保險櫃中，並將比特幣＂發送＂至其比特幣地址，以實施簡單而高效的＂冷儲存＂解決方案。 An example of a simple paper wallet from bitaddress.org 展示了從bitaddress.org網站生成的紙錢包.

簡單紙錢包的缺點是印刷的鑰匙容易被盜。能夠訪問紙張的小偷可以竊取它或拍攝鑰匙，即可控制這些鑰匙鎖定的比特幣。更復雜的紙錢包儲存系統使用BIP-38加密的私人密鑰。紙錢包上印有的鑰匙受到由主人記在腦中的密碼保護。沒有密碼，加密的密鑰就沒用了。紙錢包仍然優於密碼保護的錢包，因為密鑰從未在線並且必須從安全或其他有物理保護的儲存裝置中獲取。 An example of an encrypted paper wallet from bitaddress.org. The passphrase is "test." 顯示在bitaddress.org網站上創建的帶有加密私鑰（BIP-38）的紙幣。

紙錢包可以有許多不同的設計和尺寸，和不同的特徵。一些用來當作禮物贈送，並具有季節性主題，如聖誕節和新年主題。其他設計用於存放在銀行保險庫或帶有隱藏的密碼保護的保險箱中，或者使用不透明的刮擦貼紙，或者使用防篡改粘貼箔摺疊和密封。圖 #paper_wallet_bpw 到 #paper_wallet_spw 顯示具有安全和備份功能的各種紙錢包示例。

其他設計還提供了鑰匙和地址的附加副本，形式為與票根類似的可拆卸存根，允許你儲存多個副本以防止火災，洪水或其他自然災害。